Maple est un logiciel propriétaire de calcul formel développé depuis les

années 1980 et aujourd'hui édité par la société canadienne Maplesoft. La

version la plus récente est sortie en mars 2023.

Les objets de base du calcul sont les expressions mathématiques,

représentées sous forme de graphes orientés acycliques. Maple fournit un

langage de programmation spécifique, inspiré d'Algol, qui est à la fois

le langage d'utilisation interactive et celui dans lequel est écrite la

plus grande partie de la bibliothèque mathématique du logiciel.

• Histoire

• Fonctionnalités

• Modèle de calcul et langage

• Expressions

• Variables et indéterminées

• Notes et références

• Voir aussi

• Bibliographie

• Articles connexes

• Liens externes

Maple a été initialement développé au sein du Symbolic Computation Group

de l'université de Waterloo en Ontario (Canada) à partir de décembre

1980cite-ref-ge-2-0[2]. La première version publique date de 1985 (version 3.3).

Maple a été utilisé dans un nombre remarquable d'applications des

sciences et des mathématiques allant de la démonstration du

dernier théorème de Fermat en théorie des nombres, à des problèmes de la

relativité générale et de la mécanique quantique. Ces applications sont

présentées dans un numéro spécial d'un bulletin d'information créé par

les développeurs de Maple appelé MapleTechcite-ref-3[3].

Le logiciel permet aussi bien de travailler sur des quantités numériques

(entières, réelles, complexes) qu'avec des polynômes, des fonctions, ou

des séries. Maple réalise des dérivations, des intégrations, des

résolutions de systèmes d'équations linéaires, des

inversions de matrices, des développements asymptotiques ou encore des

résolutions d'équations différentielles sous forme symbolique,

c'est-à-dire en gardant des inconnues dans la résolution. Le système

Maple offre aussi de nombreuses fonctionnalités en théorie des nombres

et en combinatoire.

Maple est un système interprété. Dans son utilisation la plus courante,

l'utilisateur entre une ligne de commande écrite dans un langage

spécifique, et le système retourne un résultat. Par exemple, la commande

suivante calcule la solution de l'équation différentielle du second

ordre y ″ − 3 y = x {\displaystyle y''-3y=x} vérifiant les conditions

initiales y ( 0 ) = 1 {\displaystyle y(0)=1} et y ′ ( 0 ) = 2

{\displaystyle y'(0)=2} :

dsolve({diff(y(x),x,x)-3*y(x)=x,y(0)=1,D(y)(0)=2},y(x));

Il est également possible d'écrire, dans le même langage, des programmes

qui ne seront pas compilés, mais interprétés à leur appel, et d'enrichir

ainsi le système avec de nouvelles commandes.

Au-delà des fonctionnalités de calcul formel et de programmation à

proprement parler, Maple permet par exemple de copier et coller dans un

traitement de texte les formules mathématiques issues des calculs, de

tracer des courbes et surfaces, ou encore de générer des programmes

numériques en langage C. Il offre un mode console et un mode graphique.

Il est disponible sur la majorité des systèmes d'exploitation

(GNU/Linux, macOS, Windows).

La structure de donnée fondamentale manipulée par Maple est

l'expression.

Dans la pratique courante, lorsque l’on utilise une expression

mathématique telle que sin ⁡ ( π / 3 + x ) {\displaystyle \sin(\pi

/3+x)} , on a en tête une fonction ( sin {\displaystyle \sin } ) et un

réel π {\displaystyle \pi } dont on connaît de nombreuses propriétés,

ainsi qu’une variable x {\displaystyle x} . Du point de vue du système,

en revanche, il s’agit d’une expression, formée en l'occurrence d'une

fonction nommée sin {\displaystyle \sin } appliquée à une somme de

deux termes, à savoir une variable nommée x {\displaystyle x} et le

quotient d’une autre variable π {\displaystyle \pi } par l’entier 3

{\displaystyle 3} . Pour toutes les opérations mathématiques que

l’utilisateur souhaite réaliser sur cette expression, le système ne

dispose que de cette information syntaxique. Ainsi, 0 {\displaystyle 0}

et 1 − exp ⁡ ( 1 ) exp ⁡ ( − 1 ) {\displaystyle 1-\exp(1)\exp(-1)}

sont deux objets identiques d'un point de vue mathématique, mais très

différents comme expressions Maple. Des questions centrales comme celle

de la simplification, sont liées à cette distinction entre la vision

syntaxique du système et la vision mathématique de l'utilisateur.

Une expression comme le produit

x 2 exp ⁡ ( 3 2 ) sin ⁡ ( π 3 − 1 x ) {\displaystyle x^{2}\exp

\left({\frac {3}{2}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-{\frac

{1}{x}}\right)}

est vue comme un arbre. Ici, la racine de l'arbre est étiquetée par

l'opérateur de multiplication *. Ses trois fils sont les (étiquettes

des) racines des arbres qui représentent les trois facteurs x 2

{\displaystyle x^{2}} , exp ⁡ ( 3 / 2 ) {\displaystyle \exp(3/2)} et

sin ⁡ ( π / 3 − 1 / x ) {\displaystyle \sin(\pi /3-1/x)} , à savoir

^, exp et sin. Les nœuds de l'arbre, comme la racine, représentent des

opérations ou des fonctions, et les feuilles représentent soit des

rationnels, soit des constantes symboliques ou des indéterminées (comme

π ou x).

Les objets Maple sont (sauf exception) représentés avec partage maximal,

c'est-à-dire que deux objets identiques sont représentées par le même

objet en mémoire. En particulier, les arbres d'expressions sont stockés

comme des graphes orientés acycliques. Concrètement, tous les objets (ou

presque) construits au cours d'une session Maple sont stockés dans une

table de hachage globale. Ceci s'applique non seulement aux objets

nommés, mais aussi aux expressions et sous-expressions qui interviennent

durant le calcul. Chaque sous-objet nouvellement créé est comparé aux

éléments déjà présents dans la table. Si l'objet est nouveau, il est

conservé et ajouté à la table. Si au contraire un objet identique a déjà

été utilisé, l'ancien objet est immédiatement utilisé à la place. Ceci

garantit l'existence d'une seule copie de chaque expression en mémoire.

Les procédures Maple travaillent sur des expressions représentées par de

tels arbres et les opérations de base consistent à analyser ces arbres

pour en déterminer les composants, à extraire ces composants et à les

utiliser pour construire de nouveaux arbres. Les arbres qui se trouvent

sous la racine sont les opérandes de l'expression et peuvent être isolés

par la procédure op, leur nombre étant renvoyé par la commande nops.

L'ordre des opérandes d'un opérateur commutatif peut changer d'une

session à l'autre. La procédure has détermine si une expression apparaît

comme sous-expression d'une autre. Elle permet par exemple de déterminer

qu'une expression est indépendante d'une variable donnée.

Parmi les procédures de base qui construisent de nouveaux objets à

partir d'expressions existantes, citons eval, subs, convert, select et

remove. Notamment, la façon naturelle de calculer la valeur d'une

fonction pour une valeur donnée de ses variables consiste à évaluer

l'expression qui représente la fonction à l'aide de eval. Une procédure

de plus bas niveau que eval est subs, qui effectue une simple

substitution. Le logiciel applique les règles de simplification

automatique, mais n'évalue pas le résultat de la substitution.

Ces procédures ne modifient pas leur argument — la plupart des objets

Maple ne peuvent pas être modifiés — mais en créent des copies altérées.

Grâce au partage maximal, cette copie n'entraîne pas une trop grande

consommation de mémoire.

Une différence notable entre le langage Maple et les langages de

programmation traditionnels réside dans l'évaluation des variables non

affectées. Dans la plupart des langages, cette évaluation est une

erreur, alors que Maple renvoie le nom de la variable, qui peut être

utilisé comme nom de variable dans une expression. Ce mécanisme permet

de traiter les indéterminées mathématiques comme des variables

informatiques.

L'affectation se visualise comme la création d'une flèche de la variable

vers la valeur. Par exemple, la suite d'affectations x:=y; y:=z; crée

une structure de la forme x → y → z. L'évaluation consiste alors à

suivre ces flèches pour obtenir une valeur. Ainsi, après les

affectations précédentes, x et y s'évaluent toutes deux en z.

cite-note-wikidata-6c95fc849a8c675082841cad94ad5ace3f0c3439-11. « Waterloo, Canada; Mar. 6, 2024: Maplesoft announced », 6 mars 2024 (consulté le 10 février 2025)

cite-note-ge-22. ↑ On the design and performance of the Maple system, Proceedings of the 1984 MACSYMA Users' Conference, 199-219

cite-note-33. ↑ MapleTech Special Issue (numéro spécial) Birkhäuser-Boston, (1994)

• Bruce W. Char, Keith O. Geddes, W. Morven Gentleman et Gaston H.

Gonnet, « The design of Maple: a Compact, Portable, and Powerful

Computer Algebra System », Research Report CS-83-06,

Université de Waterloo, 1983

• Keith O. Geddes, Gaston H. Gonnet, Bruce W. Char, « Maple User's

Manual, Second Edition », Université de Waterloo, 1982 (les 17 premières

pages sont constituées de l'article précédent)

• Système de calcul formel

• Mathematica, un logiciel propriétaire concurrent

• Maxima, un logiciel libre concurrent

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